A probabilidade governa nossas vidas. Todos os dias ele é usado, automaticamente, como nos mostra o teorema de Bayes que explicaremos neste artigo.
O teorema de Bayes é um dos pilares do cálculo de probabilidade . É uma teoria avançada por Thomas Bayes (1702-1761) no século XVIII. Mas qual é o propósito da pesquisa deste famoso cientista? A probabilidade expressa, em um processo aleatório, a razão entre o número de casos 'favoráveis' e o número de casos 'possíveis'.
Muitas teorias de probabilidade foram desenvolvidas para governar nossa existência hoje. Quando vamos ao médico, ele prescreve o medicamento que provavelmente será útil em nosso caso, da mesma forma que os anunciantes dedicam suas campanhas às pessoas que têm maior probabilidade de adquirir o produto que desejam promover ou, ainda, aos turistas e viajantes que eles escolhem o caminho onde provavelmente haverá menos fila.
A lei da probabilidade total é uma das mais famosas, portanto, antes de falar sobre a o teorema de Bayes , teremos que dedicar algumas linhas para a explicação do primeiro. Para tentar entender, basta dar um exemplo . Digamos que, em um país aleatório, 39% da população seja composta apenas por mulheres. Também sabemos que 22% das mulheres e 14% dos homens estão desempregados.
Qual é a probabilidade (P) de que uma pessoa escolhida aleatoriamente da população ativa neste país seja desempregado ?
De acordo com a teoria da probabilidade, os dados seriam expressos da seguinte forma:
- A probabilidade de a pessoa ser do sexo feminino: P (M)
- A probabilidade de a pessoa ser do sexo masculino: P (H)
Sabendo que 39% da população é composta por mulheres, deduzimos que: P (M) = 0,39.
Portanto, é claro que: P (H) = 1 - 0,39 = 0,61. O problema colocado no início também nos dá probabilidades condicionais:
- Probabilidade de uma pessoa estar desempregada, sabendo que é mulher -> P (P | M) = 0,22
- Probabilidade de uma pessoa estar desempregada, sabendo que é homem - P (P | H) = 0,14
Usando o lei da probabilidade total nós teremos:
P (P) = P (M) P (P | M) + P (H) P (P | H)
P (P) = 0,22 × 0,39 + 0,14 × 0,61
P (P) = 0,17
A probabilidade de uma pessoa escolhida aleatoriamente estar desempregada será de 0,17 . Observamos que o resultado está a meio caminho entre as duas probabilidades condicionais (0,22<0,17 <0,14). Inoltre, è più prossimo al valore degli uomini perché, nella popolazione di questo paese immaginario, sono la maggioranza.
Vamos descobrir o teorema de Bayes
Agora suponha que um adulto seja escolhido ao acaso para preencher um formulário e observe que ele não tem emprego. Nesse caso, e levando em consideração o exemplo anterior, qual é a probabilidade de que essa pessoa escolhida ao acaso seja uma mulher -P (M | P) -?
Para resolver este problema, vamos aplicar o teorema de Bayes, que é usado para calcular a probabilidade de um evento tendo informações sobre ele com antecedência . Podemos calcular as probabilidades de um evento A sabendo que ele satisfaz certas características (B).
Nesse caso, estamos falando sobre a probabilidade de a pessoa escolhida ao acaso para preencher um formulário ser uma mulher. Mas não será independente se a pessoa selecionada está desempregada ou não.
A fórmula do teorema de di Bayes
Como qualquer outro teorema, precisamos de uma fórmula.
Parece complicado, mas tudo tem explicação. Nós pensamos em partes. O que cada letra significa?
- B é o evento sobre o qual temos informações preliminares.
- eu uma letra A (n) refere-se aos diferentes eventos condicionados.
- Na parte do numerador, temos o Probabilidade Condicional . Isso se refere à probabilidade de que algo (um evento A) ocorrerá, sabendo que outro evento (B) também ocorrerá. É definido como P (A | B) e é expresso como: A probabilidade de A dado B .
- No denominador, temos o equivalente a P (B) e segue a mesma explicação do ponto anterior.
Um exemplo
Voltando ao exemplo anterior, suponha que um adulto seja escolhido aleatoriamente para preencher um questionário e observe que é desempregado . Quais são as chances de essa pessoa escolhida ser do sexo feminino?
Sabemos que 39% da população ativa é composta por mulheres, enquanto o restante é de homens . Além disso, sabemos a porcentagem de mulheres desempregadas, 22%, e a de homens, 14%.
Finalmente, também sabemos que a chance de uma pessoa escolhida aleatoriamente estar desempregada é de 0,17. Se aplicarmos a fórmula do teorema de Bayes, o resultado que obteremos é que há uma probabilidade de 0,5 de que uma pessoa escolhida ao acaso entre os desempregados seja uma mulher.
P (M | P) = (P (M) * P (P | M) / P (P)) = (0,22 * 0,39) / 0,17 = 0,5
O teorema de Bayes deriva da conjunção do teorema da probabilidade composta e do teorema absoluto, que explicamos no início. Sua principal característica é que funciona em todas as interpretações de probabilidade.
Uma vez que pode ser usado para calcular a probabilidade de uma causa, que desencadeou o evento, sua importância reside na maneira como historicamente afetou o estudo das estatísticas . Hoje, de fato, são conhecidas duas escolas principais (uma frequentista e outra, aliás, bayesiana) que se opõem a partir da interpretação que se dá a essa teoria.
Para encerrar com uma curiosidade: você sabia que o spam eletrônico (o de Internet , e-mails, anúncios) funciona graças ao teorema de Bayes?
A superstição aumenta as chances de sobrevivência?
A superstição parece ser um subproduto da capacidade de aprendizagem de qualquer pessoa capaz de fazer conexões entre eventos.
Bibliografia
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- Díaz, C., & de la Fuente, I. (2006). Ensino do teorema de Bayes com suporte tecnológico. Pesquisa em sala de aula de matemática. Estatísticas e chance .
- Teorema de Bayes - Definição, o que é e conceito | Economipedia. Obtido em https://economipedia.com/definiciones/teorema-de-bayes.html